 Espaces préhilbertiens :

à Espaces préhilbertiens :

voir cours SUP (prod scalaire, polarisation, ident du paral., ...)

||x||=Ö (j (x|x))

Ineg de Cauchy : |(x|y)| £ ||x||.||y|| il y a égalité Û x et y liés

Th : F et F^ sont 2 espaces de E en somme directe

Th : si F ss ev de dim finie de E alors F et F^ sont supplémentaires

Def : proj ^ sur F : proj sur F parallèlement à F^

Orthogonalisation de Schmidt : (u_i)_iÎ
I famille de vect libres de E (I ens d’entiers consécutifs contenant 0)

à Voir cours SUP

(e₁...e_n) b.o.n. de F et x (l ₁...l _n) coord de x tq l _k=(e_k|x)

Espace euclidien : espace préhilbertien réel de dim finie

A sym : ^tA=A P orthog : In=^tP.P

Esp hermitien : esp. préhilbertien complexe de dim finie

Def : E esp hermitien B=(u₁...u_n) base de E, matrice du prod scalaire de t.g. a_ij=(u_i|u_j)

à Endomorphismes symétriques :

Def : f* : adjoint de f : l’unique applic Eà E tq " (x,y)Î E², (f(x)|y)=(x|f*(y))

à f est un endom de E

Propriétés : (f+g)*=f*+g* (l f)*=l f* (fog)*=g*of*

Id*=Id

Si f est inversible : f* inv et (f*)^-1=(f^-1)*

fÎ O(E) Û fof*=Id p proj, p orthog Û p*=p

Th : fÎ L(E) A=M(f,B) alors M(f*,B)=^tA

Def : f autoadjoint Û f*=f et alors Ker(f) et Im(f) son supplémentaires

Th : A matrice réelle sym, le polyn caract n’a que des racines réelles

Th : f autoadjoint alors f diagonalise et $ b.o.n. de vecteurs propres

Si A matr réelle sym $ D matrice diag tq A=PDP^-1=PD^tP

Def : A matrice réelle sym , q la f.q. sur Rⁿ, A positive qd q positive

Th : une matrice réelle sym est ³ 0 Û ses valeurs propres sont ³ 0

est def ³ 0 Û ses val pr sont >0 cad elle est ³ 0 et inversible

Coniques :

P(x,y)=Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F

g : Eà R def par g (M)=P(x,y)

G ={MÎ E g (M)=0} conique de E

q la f.q. et f l’endom autoadj assoc de mat

(I,J) b.o.n. de vect pr de f assoc à l ,µ

l µ¹ 0 W det par grad g =0 ¶ p/¶ x=0 et ¶ p/¶ y=0) Û G d’eq l X²+µY²+g (W )=0 ds (W ,I,J)
l µ=0 l ¹ 0 et µ=0, 2b =grad g .J

b ¹ 0 : W sol de (grad g .I=0 et g (W )=0) G d’eq l X²+2b Y=0 parab vraie
b =0 : W sol de grad g .I=0 G d’eq l X²+g (W )=0 dégénérée

Quadriques :

f(x,y,z)=Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Eyz+2Fzx+2Gx+2Hy+2Jz+K

q f.q. a une matrice 3x3

0 pas val pr : G quad à centre et W det par grad f=0

G d’eq l X²+µY²+n Z²+f(W )=0

si l , µ, n de même signe à genre ellipsoïde sinon hyperboloïde

0 val pr simple de M (l ,µ)¹ (0,0) et n =0 2b =K.grad f G genre paraboloïde

b ¹ 0 : W det par (I.grad f=0 et J.grad f=0 et f(W )=0) G d’eq l X²+µY²+2b Z=0
b =0 : W det par (I.grad f=0 et J.grad f=0) G d’eq l X²+µY²+f(W )=0

0 val pr double de M l ¹ 0 µ=n =0

On choisit J, K tq K.grad f=0 2b =J.grad f

b ¹ 0 : W det par (I.grad f =0 et f(W )=0) G d’eq l X²+2b Y=0
b =0 : W det par I.grad f =0 G d’eq l X²+f(W )=0

Ellipsoïde : X²/a ²+Y²/b ²+Z²/g ²=w si w<0 vide si w=0 point

Hyperboloïde : X²/a ²+Y²/b ²-Z²/g ²=w si w<0 hyp à 2 nappes si w=0 cône si w>0 hyp à 1 nappe

Paraboloïde : l X²+µY²+2b Z=w eq réduite X²/a²+Y²/b²=2pZ

Def : une quadrique est réglée qd " pt de la quad, il passe une dte sur la quad.

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